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SHL22でも同じ症状でしたので、”ICS SMS”のインストールのみで試みました。
以下が手順ですが、本文から引用しています。

１：ハングアウトの「SMSをONにする」のチェックをはずす。
２：Google PlayストアよりICS SMSというアプリをダウンロード。
３：ハングアウトで電話認証を行う。
４：ハングアウトが強制終了。
５：ICS SMSに「Google Play」からSMSが届く。
６：誰でもいいから空メッセージをICS SMSで送る。（私は妻に送りました。）
７：ハングアウトの設定を開くと何故か確認完了に。
８：ICS SMSをデータを削除した上でアンインストール。
９：ハングアウトの「SMSをONにする」のチェックを入れる。

６番は「Google Play」からSMSが届いたので、必要ないかもしれません。
しかし、ハングアウトを導入すると、標準SMSが使えなくなり、ハングアウト経由になるようです。
また、「ハングアウトのSMSの受信チェック」を外すと、SMSが使えなくなります。

でも、個人的にSMSは使わないから宜しいとしましょう。

ありがとうございました。

Google ハングアウトの電話認証が成功 | 初物絵日記 https://hatsumono.wordpress.com/2013/12/15/google-%E3%83%8F%E3%83%B3%E3%82%B0%E3%82%A2%E3%82%A6%E3%83%88%E3%81%AE%E9%9B%BB%E8%A9%B1%E8%AA%8D%E8%A8%BC%E3%81%8C%E6%88%90%E5%8A%9F/